Algèbre linéaire Exemples

$a = [\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les valeurs propres.

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Étape 1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique

$p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$

Étape 1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille

$3$ est la matrice carrée

$3 \times 3$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs connues dans

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez

$A$ par

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] - λ I_{3})$

Étape 1.3.2

Remplacez

$I_{3}$ par

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez

$- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.4.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.5

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.6.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.7.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.8.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.9

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 8 - λ & - 6 + 0 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - λ & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3

Simplify each element.

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Étape 1.4.3.1

Additionnez

$- 6$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 8 - λ & - 6 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - λ & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 8 - λ & - 6 & 2 \\ - 6 + 0 & 7 - λ & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.3

Additionnez

$- 6$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 8 - λ & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 - λ & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.4

Additionnez

$- 4$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 8 - λ & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 - λ & - 4 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.5

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 8 - λ & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 - λ & - 4 \\ 2 & - 4 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.6

Additionnez

$- 4$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 8 - λ & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 - λ & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.5

Find the determinant.

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Étape 1.5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.5.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 - λ & - 4 \\ - 4 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$(8 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & - 4 \\ - 4 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (8 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & - 4 \\ - 4 & 3 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.2

Évaluez

$| \begin{array}{c} 7 - λ & - 4 \\ - 4 & 3 - λ \end{array} |$ .

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Étape 1.5.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (8 - λ) ((7 - λ) (3 - λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.2.1.1

Développez

$(7 - λ) (3 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (8 - λ) (7 (3 - λ) - λ (3 - λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (8 - λ) (7 \cdot 3 + 7 (- λ) - λ (3 - λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (8 - λ) (7 \cdot 3 + 7 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.2.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.2.1.2.1.1

Multipliez

$7$ par

$3$ .

$p (λ) = (8 - λ) (21 + 7 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$7$ .

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 7 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.3

Multipliez

$3$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 7 λ - 3 λ - λ (- λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 7 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.2.2.1.2.1.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 7 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 7 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 7 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.7

Multipliez

$λ^{2}$ par

$1$ .

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 7 λ - 3 λ + λ^{2} - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.2

Soustrayez

$3 λ$ de

$- 7 λ$ .

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 10 λ + λ^{2} - (- 4 \cdot - 4)) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.3

Multipliez

$- (- 4 \cdot - 4)$ .

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Étape 1.5.2.2.1.3.1

Multipliez

$- 4$ par

$- 4$ .

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 10 λ + λ^{2} - 1 \cdot 16) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.3.2

Multipliez

$- 1$ par

$16$ .

$p (λ) = (8 - λ) (21 - 10 λ + λ^{2} - 16) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.2

Soustrayez

$16$ de

$21$ .

$p (λ) = (8 - λ) (- 10 λ + λ^{2} + 5) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.3

Remettez dans l’ordre

$- 10 λ$ et

$λ^{2}$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 | \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} - 6 & - 4 \\ 2 & 3 - λ \end{array} |$ .

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Étape 1.5.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (- 6 (3 - λ) - 2 \cdot - 4) + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (- 6 \cdot 3 - 6 (- λ) - 2 \cdot - 4) + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.2

Multipliez

$- 6$ par

$3$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (- 18 - 6 (- λ) - 2 \cdot - 4) + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.3

Multipliez

$- 1$ par

$- 6$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (- 18 + 6 λ - 2 \cdot - 4) + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.4

Multipliez

$- 2$ par

$- 4$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (- 18 + 6 λ + 8) + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.2

Additionnez

$- 18$ et

$8$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 | \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} - 6 & 7 - λ \\ 2 & - 4 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 (- 6 \cdot - 4 - 2 (7 - λ))$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1.1

Multipliez

$- 6$ par

$- 4$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 (24 - 2 (7 - λ))$

Étape 1.5.4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 (24 - 2 \cdot 7 - 2 (- λ))$

Étape 1.5.4.2.1.3

Multipliez

$- 2$ par

$7$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 (24 - 14 - 2 (- λ))$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez

$- 1$ par

$- 2$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 (24 - 14 + 2 λ)$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez

$14$ de

$24$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 (10 + 2 λ)$

Étape 1.5.4.2.3

Remettez dans l’ordre

$10$ et

$2 λ$ .

$p (λ) = (8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5) + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

Étape 1.5.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1.1

Développez

$(8 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 5)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 8 λ^{2} + 8 (- 10 λ) + 8 \cdot 5 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

Étape 1.5.5.1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1.2.1

Multipliez

$- 10$ par

$8$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 8 \cdot 5 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

Étape 1.5.5.1.2.2

Multipliez

$8$ par

$5$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

Étape 1.5.5.1.2.3

Multipliez

$λ$ par

$λ^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1.2.3.1

Déplacez

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - (λ^{2} λ) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

Étape 1.5.5.1.2.3.2

Multipliez

$λ^{2}$ par

$λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1.2.3.2.1

Élevez

$λ$ à la puissance

$1$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

Étape 1.5.5.1.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{2 + 1} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

Étape 1.5.5.1.2.3.3

Additionnez

$2$ et

$1$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{3} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

Étape 1.5.5.1.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ \cdot λ - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

Étape 1.5.5.1.2.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1.2.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 (λ \cdot λ) - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

Étape 1.5.5.1.2.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ^{2} - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

Étape 1.5.5.1.2.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 10$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{3} + 10 λ^{2} - λ \cdot 5 + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

Étape 1.5.5.1.2.7

Multipliez

$5$ par

$- 1$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{3} + 10 λ^{2} - 5 λ + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

Étape 1.5.5.1.3

Additionnez

$8 λ^{2}$ et

$10 λ^{2}$ .

$p (λ) = 18 λ^{2} - 80 λ + 40 - λ^{3} - 5 λ + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

Étape 1.5.5.1.4

Soustrayez

$5 λ$ de

$- 80 λ$ .

$p (λ) = 18 λ^{2} - 85 λ + 40 - λ^{3} + 6 (6 λ - 10) + 2 (2 λ + 10)$

Étape 1.5.5.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 18 λ^{2} - 85 λ + 40 - λ^{3} + 6 (6 λ) + 6 \cdot - 10 + 2 (2 λ + 10)$

Étape 1.5.5.1.6

Multipliez

$6$ par

$6$ .

$p (λ) = 18 λ^{2} - 85 λ + 40 - λ^{3} + 36 λ + 6 \cdot - 10 + 2 (2 λ + 10)$

Étape 1.5.5.1.7

Multipliez

$6$ par

$- 10$ .

$p (λ) = 18 λ^{2} - 85 λ + 40 - λ^{3} + 36 λ - 60 + 2 (2 λ + 10)$

Étape 1.5.5.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 18 λ^{2} - 85 λ + 40 - λ^{3} + 36 λ - 60 + 2 (2 λ) + 2 \cdot 10$

Étape 1.5.5.1.9

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$p (λ) = 18 λ^{2} - 85 λ + 40 - λ^{3} + 36 λ - 60 + 4 λ + 2 \cdot 10$

Étape 1.5.5.1.10

Multipliez

$2$ par

$10$ .

$p (λ) = 18 λ^{2} - 85 λ + 40 - λ^{3} + 36 λ - 60 + 4 λ + 20$

Étape 1.5.5.2

Additionnez

$- 85 λ$ et

$36 λ$ .

$p (λ) = 18 λ^{2} - 49 λ + 40 - λ^{3} - 60 + 4 λ + 20$

Étape 1.5.5.3

Additionnez

$- 49 λ$ et

$4 λ$ .

$p (λ) = 18 λ^{2} - 45 λ + 40 - λ^{3} - 60 + 20$

Étape 1.5.5.4

Soustrayez

$60$ de

$40$ .

$p (λ) = 18 λ^{2} - 45 λ - λ^{3} - 20 + 20$

Étape 1.5.5.5

Associez les termes opposés dans

$18 λ^{2} - 45 λ - λ^{3} - 20 + 20$ .

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Étape 1.5.5.5.1

Additionnez

$- 20$ et

$20$ .

$p (λ) = 18 λ^{2} - 45 λ - λ^{3} + 0$

Étape 1.5.5.5.2

Additionnez

$18 λ^{2} - 45 λ - λ^{3}$ et

$0$ .

$p (λ) = 18 λ^{2} - 45 λ - λ^{3}$

Étape 1.5.5.6

Déplacez

$- 45 λ$ .

$p (λ) = 18 λ^{2} - λ^{3} - 45 λ$

Étape 1.5.5.7

Remettez dans l’ordre

$18 λ^{2}$ et

$- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 18 λ^{2} - 45 λ$

Étape 1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à

$0$ pour déterminer les valeurs propres

$λ$ .

$- λ^{3} + 18 λ^{2} - 45 λ = 0$

Étape 1.7

Résolvez

$λ$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.7.1.1

Factorisez

$- λ$ à partir de

$- λ^{3} + 18 λ^{2} - 45 λ$ .

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Étape 1.7.1.1.1

Factorisez

$- λ$ à partir de

$- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} + 18 λ^{2} - 45 λ = 0$

Étape 1.7.1.1.2

Factorisez

$- λ$ à partir de

$18 λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 18 λ) - 45 λ = 0$

Étape 1.7.1.1.3

Factorisez

$- λ$ à partir de

$- 45 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 18 λ) - λ \cdot 45 = 0$

Étape 1.7.1.1.4

Factorisez

$- λ$ à partir de

$- λ (λ^{2}) - λ (- 18 λ)$ .

$- λ (λ^{2} - 18 λ) - λ \cdot 45 = 0$

Étape 1.7.1.1.5

Factorisez

$- λ$ à partir de

$- λ (λ^{2} - 18 λ) - λ (45)$ .

$- λ (λ^{2} - 18 λ + 45) = 0$

Étape 1.7.1.2

Factorisez.

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Étape 1.7.1.2.1

Factorisez

$λ^{2} - 18 λ + 45$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.7.1.2.1.1

Étudiez la forme

$x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est

$c$ et dont la somme est

$b$ . Dans ce cas, dont le produit est

$45$ et dont la somme est

$- 18$ .

$- 15, - 3$

Étape 1.7.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- λ ((λ - 15) (λ - 3)) = 0$

Étape 1.7.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- λ (λ - 15) (λ - 3) = 0$

Étape 1.7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

$0$ , l’expression entière sera égale à

$0$ .

$λ = 0$

$λ - 15 = 0$

$λ - 3 = 0$

Étape 1.7.3

Définissez

$λ$ égal à

$0$ .

$λ = 0$

Étape 1.7.4

Définissez

$λ - 15$ égal à

$0$ et résolvez

$λ$ .

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Étape 1.7.4.1

Définissez

$λ - 15$ égal à

$0$ .

$λ - 15 = 0$

Étape 1.7.4.2

Ajoutez

$15$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 15$

Étape 1.7.5

Définissez

$λ - 3$ égal à

$0$ et résolvez

$λ$ .

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Étape 1.7.5.1

Définissez

$λ - 3$ égal à

$0$ .

$λ - 3 = 0$

Étape 1.7.5.2

Ajoutez

$3$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 3$

Étape 1.7.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$- λ (λ - 15) (λ - 3) = 0$ vraie.

$λ = 0, 15, 3$

Étape 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{a} = N (a - λ I_{3})$

Étape 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 0$ .

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez

$0$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez

$0$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.3

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.4

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.5

Multipliez

$0$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.6

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.7

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.8

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.9

Multipliez

$0$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

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Étape 3.2.2.1

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 8 + 0 & - 6 + 0 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2

Simplify each element.

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Étape 3.2.2.2.1

Additionnez

$8$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 + 0 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.2

Additionnez

$- 6$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.3

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 + 0 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.4

Additionnez

$- 6$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.5

Additionnez

$7$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.6

Additionnez

$- 4$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.7

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 + 0 & 3 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.8

Additionnez

$- 4$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.9

Additionnez

$3$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}]$

Étape 3.3

Find the null space when

$λ = 0$ .

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Étape 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 & 0 \\ - 6 & 7 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & 3 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{1}{8}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{1}{8}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{8} & \frac{- 6}{8} & \frac{2}{8} & \frac{0}{8} \\ - 6 & 7 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & 3 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ - 6 & 7 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & 3 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ - 6 + 6 \cdot 1 & 7 + 6 (- \frac{3}{4}) & - 4 + 6 (\frac{1}{4}) & 0 + 6 \cdot 0 \\ 2 & - 4 & 3 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 4 & 3 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 4 - 2 (- \frac{3}{4}) & 3 - 2 (\frac{1}{4}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$\frac{2}{5}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.4.1

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$\frac{2}{5}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} & \frac{2}{5} (- \frac{5}{2}) & \frac{2}{5} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.5

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + \frac{5}{2} R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.5.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + \frac{5}{2} R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 & - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot 1 & \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot - 1 & 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.5.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.6

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} + \frac{3}{4} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.6.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} + \frac{3}{4} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{4} \cdot 0 & - \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \cdot 1 & \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 1 & 0 + \frac{3}{4} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.6.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1}{2} z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Étape 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{2} \\ z \\ z \end{array}]$

Étape 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Étape 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] - 15 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Multipliez

$- 15$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 \cdot 1 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.2.1

Multipliez

$- 15$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez

$- 15$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.3

Multipliez

$- 15$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.4

Multipliez

$- 15$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & 0 \\ 0 & - 15 \cdot 1 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.5

Multipliez

$- 15$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & 0 \\ 0 & - 15 & - 15 \cdot 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.6

Multipliez

$- 15$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & 0 \\ 0 & - 15 & 0 \\ - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.7

Multipliez

$- 15$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & 0 \\ 0 & - 15 & 0 \\ 0 & - 15 \cdot 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.8

Multipliez

$- 15$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & 0 \\ 0 & - 15 & 0 \\ 0 & 0 & - 15 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.9

Multipliez

$- 15$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 15 & 0 & 0 \\ 0 & - 15 & 0 \\ 0 & 0 & - 15 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 8 - 15 & - 6 + 0 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - 15 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

Étape 4.2.3

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Soustrayez

$15$ de

$8$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 + 0 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - 15 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

Étape 4.2.3.2

Additionnez

$- 6$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - 15 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

Étape 4.2.3.3

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 \\ - 6 + 0 & 7 - 15 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

Étape 4.2.3.4

Additionnez

$- 6$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 - 15 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

Étape 4.2.3.5

Soustrayez

$15$ de

$7$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 \\ - 6 & - 8 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

Étape 4.2.3.6

Additionnez

$- 4$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 \\ - 6 & - 8 & - 4 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

Étape 4.2.3.7

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 \\ - 6 & - 8 & - 4 \\ 2 & - 4 + 0 & 3 - 15 \end{array}]$

Étape 4.2.3.8

Additionnez

$- 4$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 \\ - 6 & - 8 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 - 15 \end{array}]$

Étape 4.2.3.9

Soustrayez

$15$ de

$3$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 \\ - 6 & - 8 & - 4 \\ 2 & - 4 & - 12 \end{array}]$

Étape 4.3

Find the null space when

$λ = 15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 7 & - 6 & 2 & 0 \\ - 6 & - 8 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & - 12 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{7}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{7}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot - 6 & - \frac{1}{7} \cdot 2 & - \frac{1}{7} \cdot 0 \\ - 6 & - 8 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & - 12 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ - 6 & - 8 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & - 12 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ - 6 + 6 \cdot 1 & - 8 + 6 (\frac{6}{7}) & - 4 + 6 (- \frac{2}{7}) & 0 + 6 \cdot 0 \\ 2 & - 4 & - 12 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{7} & - \frac{40}{7} & 0 \\ 2 & - 4 & - 12 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{7} & - \frac{40}{7} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 4 - 2 (\frac{6}{7}) & - 12 - 2 (- \frac{2}{7}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{7} & - \frac{40}{7} & 0 \\ 0 & - \frac{40}{7} & - \frac{80}{7} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.4

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- \frac{7}{20}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.1

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- \frac{7}{20}$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ - \frac{7}{20} \cdot 0 & - \frac{7}{20} (- \frac{20}{7}) & - \frac{7}{20} (- \frac{40}{7}) & - \frac{7}{20} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{40}{7} & - \frac{80}{7} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.4.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & - \frac{40}{7} & - \frac{80}{7} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.5

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + \frac{40}{7} R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.5.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + \frac{40}{7} R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 + \frac{40}{7} \cdot 0 & - \frac{40}{7} + \frac{40}{7} \cdot 1 & - \frac{80}{7} + \frac{40}{7} \cdot 2 & 0 + \frac{40}{7} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.5.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{6}{7} & - \frac{2}{7} & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.6

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - \frac{6}{7} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.6.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - \frac{6}{7} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{6}{7} \cdot 0 & \frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot 1 & - \frac{2}{7} - \frac{6}{7} \cdot 2 & 0 - \frac{6}{7} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.6.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 2 z = 0$

$y + 2 z = 0$

$0 = 0$

Étape 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 z \\ - 2 z \\ z \end{array}]$

Étape 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array}]$

Étape 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 5

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Multipliez

$- 3$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.2.1

Multipliez

$- 3$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.2

Multipliez

$- 3$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.3

Multipliez

$- 3$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.4

Multipliez

$- 3$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.5

Multipliez

$- 3$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.6

Multipliez

$- 3$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.7

Multipliez

$- 3$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.8

Multipliez

$- 3$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2.9

Multipliez

$- 3$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

Étape 5.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 8 - 3 & - 6 + 0 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - 3 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 5.2.3

Simplify each element.

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Étape 5.2.3.1

Soustrayez

$3$ de

$8$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 + 0 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - 3 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 5.2.3.2

Additionnez

$- 6$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 7 - 3 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 5.2.3.3

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 \\ - 6 + 0 & 7 - 3 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 5.2.3.4

Additionnez

$- 6$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 \\ - 6 & 7 - 3 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 5.2.3.5

Soustrayez

$3$ de

$7$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 \\ - 6 & 4 & - 4 + 0 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 5.2.3.6

Additionnez

$- 4$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 \\ - 6 & 4 & - 4 \\ 2 + 0 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 5.2.3.7

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 \\ - 6 & 4 & - 4 \\ 2 & - 4 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 5.2.3.8

Additionnez

$- 4$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 \\ - 6 & 4 & - 4 \\ 2 & - 4 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 5.2.3.9

Soustrayez

$3$ de

$3$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 \\ - 6 & 4 & - 4 \\ 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3

Find the null space when

$λ = 3$ .

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Étape 5.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & - 6 & 2 & 0 \\ - 6 & 4 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 5.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{1}{5}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{1}{5}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{- 6}{5} & \frac{2}{5} & \frac{0}{5} \\ - 6 & 4 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ - 6 & 4 & - 4 & 0 \\ 2 & - 4 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ - 6 + 6 \cdot 1 & 4 + 6 (- \frac{6}{5}) & - 4 + 6 (\frac{2}{5}) & 0 + 6 \cdot 0 \\ 2 & - 4 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.2.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & - \frac{16}{5} & - \frac{8}{5} & 0 \\ 2 & - 4 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & - \frac{16}{5} & - \frac{8}{5} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 4 - 2 (- \frac{6}{5}) & 0 - 2 (\frac{2}{5}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & - \frac{16}{5} & - \frac{8}{5} & 0 \\ 0 & - \frac{8}{5} & - \frac{4}{5} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5}{16}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5}{16}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ - \frac{5}{16} \cdot 0 & - \frac{5}{16} (- \frac{16}{5}) & - \frac{5}{16} (- \frac{8}{5}) & - \frac{5}{16} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{8}{5} & - \frac{4}{5} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{8}{5} & - \frac{4}{5} & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{8}{5} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Étape 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{8}{5} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 + \frac{8}{5} \cdot 0 & - \frac{8}{5} + \frac{8}{5} \cdot 1 & - \frac{4}{5} + \frac{8}{5} \cdot \frac{1}{2} & 0 + \frac{8}{5} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{6}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{6}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 5.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{6}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{6}{5} \cdot 0 & - \frac{6}{5} + \frac{6}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} + \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{2} & 0 + \frac{6}{5} \cdot 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.2.6.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y + \frac{1}{2} z = 0$

$0 = 0$

Étape 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ - \frac{z}{2} \\ z \end{array}]$

Étape 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

Étape 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

Étape 6

The eigenspace of $a$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$