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Algèbre linéaire Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique .
Étape 1.2
La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille est la matrice carrée avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.
Étape 1.3
Remplacez les valeurs connues dans .
Étape 1.3.1
Remplacez par .
Étape 1.3.2
Remplacez par .
Étape 1.4
Simplifiez
Étape 1.4.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.4.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 1.4.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Étape 1.4.1.2.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.2
Multipliez .
Étape 1.4.1.2.2.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.2.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.3
Multipliez .
Étape 1.4.1.2.3.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.3.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.4
Multipliez .
Étape 1.4.1.2.4.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.4.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.5
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.6
Multipliez .
Étape 1.4.1.2.6.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.6.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.7
Multipliez .
Étape 1.4.1.2.7.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.7.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.8
Multipliez .
Étape 1.4.1.2.8.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.8.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.9
Multipliez par .
Étape 1.4.2
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 1.4.3
Simplify each element.
Étape 1.4.3.1
Additionnez et .
Étape 1.4.3.2
Additionnez et .
Étape 1.4.3.3
Additionnez et .
Étape 1.4.3.4
Additionnez et .
Étape 1.4.3.5
Additionnez et .
Étape 1.4.3.6
Additionnez et .
Étape 1.5
Find the determinant.
Étape 1.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Étape 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Étape 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Étape 1.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 1.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Étape 1.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 1.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Étape 1.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Étape 1.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Étape 1.5.1.9
Add the terms together.
Étape 1.5.2
Évaluez .
Étape 1.5.2.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 1.5.2.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 1.5.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.5.2.2.1.1
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 1.5.2.2.1.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.2.2.1.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.2.2.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.2.2.1.2
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 1.5.2.2.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.5.2.2.1.2.1.1
Multipliez par .
Étape 1.5.2.2.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.5.2.2.1.2.1.3
Multipliez par .
Étape 1.5.2.2.1.2.1.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.5.2.2.1.2.1.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 1.5.2.2.1.2.1.5.1
Déplacez .
Étape 1.5.2.2.1.2.1.5.2
Multipliez par .
Étape 1.5.2.2.1.2.1.6
Multipliez par .
Étape 1.5.2.2.1.2.1.7
Multipliez par .
Étape 1.5.2.2.1.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.5.2.2.1.3
Multipliez .
Étape 1.5.2.2.1.3.1
Multipliez par .
Étape 1.5.2.2.1.3.2
Multipliez par .
Étape 1.5.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.5.2.2.3
Remettez dans l’ordre et .
Étape 1.5.3
Évaluez .
Étape 1.5.3.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 1.5.3.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 1.5.3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.5.3.2.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.3.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.5.3.2.1.3
Multipliez par .
Étape 1.5.3.2.1.4
Multipliez par .
Étape 1.5.3.2.2
Additionnez et .
Étape 1.5.4
Évaluez .
Étape 1.5.4.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 1.5.4.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 1.5.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.5.4.2.1.1
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.4.2.1.3
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.1.4
Multipliez par .
Étape 1.5.4.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.5.4.2.3
Remettez dans l’ordre et .
Étape 1.5.5
Simplifiez le déterminant.
Étape 1.5.5.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.5.5.1.1
Développez en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.
Étape 1.5.5.1.2
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.5.5.1.2.1
Multipliez par .
Étape 1.5.5.1.2.2
Multipliez par .
Étape 1.5.5.1.2.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 1.5.5.1.2.3.1
Déplacez .
Étape 1.5.5.1.2.3.2
Multipliez par .
Étape 1.5.5.1.2.3.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.5.5.1.2.3.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.5.5.1.2.3.3
Additionnez et .
Étape 1.5.5.1.2.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.5.5.1.2.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 1.5.5.1.2.5.1
Déplacez .
Étape 1.5.5.1.2.5.2
Multipliez par .
Étape 1.5.5.1.2.6
Multipliez par .
Étape 1.5.5.1.2.7
Multipliez par .
Étape 1.5.5.1.3
Additionnez et .
Étape 1.5.5.1.4
Soustrayez de .
Étape 1.5.5.1.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.5.1.6
Multipliez par .
Étape 1.5.5.1.7
Multipliez par .
Étape 1.5.5.1.8
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.5.5.1.9
Multipliez par .
Étape 1.5.5.1.10
Multipliez par .
Étape 1.5.5.2
Additionnez et .
Étape 1.5.5.3
Additionnez et .
Étape 1.5.5.4
Soustrayez de .
Étape 1.5.5.5
Associez les termes opposés dans .
Étape 1.5.5.5.1
Additionnez et .
Étape 1.5.5.5.2
Additionnez et .
Étape 1.5.5.6
Déplacez .
Étape 1.5.5.7
Remettez dans l’ordre et .
Étape 1.6
Définissez le polynôme caractéristique égal à pour déterminer les valeurs propres .
Étape 1.7
Résolvez .
Étape 1.7.1
Factorisez le côté gauche de l’équation.
Étape 1.7.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.7.1.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.7.1.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.7.1.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.7.1.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 1.7.1.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 1.7.1.2
Factorisez.
Étape 1.7.1.2.1
Factorisez à l’aide de la méthode AC.
Étape 1.7.1.2.1.1
Étudiez la forme . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est et dont la somme est . Dans ce cas, dont le produit est et dont la somme est .
Étape 1.7.1.2.1.2
Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.
Étape 1.7.1.2.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 1.7.2
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 1.7.3
Définissez égal à .
Étape 1.7.4
Définissez égal à et résolvez .
Étape 1.7.4.1
Définissez égal à .
Étape 1.7.4.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.7.5
Définissez égal à et résolvez .
Étape 1.7.5.1
Définissez égal à .
Étape 1.7.5.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.7.6
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Étape 3
Étape 3.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
Étape 3.2
Simplifiez
Étape 3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 3.2.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 3.2.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Étape 3.2.1.2.1
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.2
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.3
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.4
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.5
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.6
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.7
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.8
Multipliez par .
Étape 3.2.1.2.9
Multipliez par .
Étape 3.2.2
Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.
Étape 3.2.2.1
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 3.2.2.2
Simplify each element.
Étape 3.2.2.2.1
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.2
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.3
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.4
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.5
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.6
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.7
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.8
Additionnez et .
Étape 3.2.2.2.9
Additionnez et .
Étape 3.3
Find the null space when .
Étape 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Étape 3.3.2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Étape 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 3.3.2.1.2
Simplifiez .
Étape 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 3.3.2.2.2
Simplifiez .
Étape 3.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 3.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 3.3.2.3.2
Simplifiez .
Étape 3.3.2.4
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 3.3.2.4.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 3.3.2.4.2
Simplifiez .
Étape 3.3.2.5
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 3.3.2.5.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 3.3.2.5.2
Simplifiez .
Étape 3.3.2.6
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 3.3.2.6.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 3.3.2.6.2
Simplifiez .
Étape 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Étape 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Étape 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Étape 3.3.6
Write as a solution set.
Étape 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Étape 4
Étape 4.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
Étape 4.2
Simplifiez
Étape 4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 4.2.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 4.2.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Étape 4.2.1.2.1
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.2
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.3
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.4
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.5
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.6
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.7
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.8
Multipliez par .
Étape 4.2.1.2.9
Multipliez par .
Étape 4.2.2
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 4.2.3
Simplify each element.
Étape 4.2.3.1
Soustrayez de .
Étape 4.2.3.2
Additionnez et .
Étape 4.2.3.3
Additionnez et .
Étape 4.2.3.4
Additionnez et .
Étape 4.2.3.5
Soustrayez de .
Étape 4.2.3.6
Additionnez et .
Étape 4.2.3.7
Additionnez et .
Étape 4.2.3.8
Additionnez et .
Étape 4.2.3.9
Soustrayez de .
Étape 4.3
Find the null space when .
Étape 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
Étape 4.3.2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Étape 4.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 4.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 4.3.2.1.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 4.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 4.3.2.2.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 4.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 4.3.2.3.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.4
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 4.3.2.4.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 4.3.2.4.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.5
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 4.3.2.5.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 4.3.2.5.2
Simplifiez .
Étape 4.3.2.6
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 4.3.2.6.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 4.3.2.6.2
Simplifiez .
Étape 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Étape 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Étape 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Étape 4.3.6
Write as a solution set.
Étape 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Étape 5
Étape 5.1
Remplacez les valeurs connues dans la formule.
Étape 5.2
Simplifiez
Étape 5.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.2.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 5.2.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Étape 5.2.1.2.1
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.2
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.3
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.4
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.5
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.6
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.7
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.8
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.9
Multipliez par .
Étape 5.2.2
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 5.2.3
Simplify each element.
Étape 5.2.3.1
Soustrayez de .
Étape 5.2.3.2
Additionnez et .
Étape 5.2.3.3
Additionnez et .
Étape 5.2.3.4
Additionnez et .
Étape 5.2.3.5
Soustrayez de .
Étape 5.2.3.6
Additionnez et .
Étape 5.2.3.7
Additionnez et .
Étape 5.2.3.8
Additionnez et .
Étape 5.2.3.9
Soustrayez de .
Étape 5.3
Find the null space when .
Étape 5.3.1
Write as an augmented matrix for .
Étape 5.3.2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Étape 5.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 5.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 5.3.2.1.2
Simplifiez .
Étape 5.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 5.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 5.3.2.2.2
Simplifiez .
Étape 5.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 5.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 5.3.2.3.2
Simplifiez .
Étape 5.3.2.4
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 5.3.2.4.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Étape 5.3.2.4.2
Simplifiez .
Étape 5.3.2.5
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 5.3.2.5.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 5.3.2.5.2
Simplifiez .
Étape 5.3.2.6
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 5.3.2.6.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Étape 5.3.2.6.2
Simplifiez .
Étape 5.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Étape 5.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Étape 5.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Étape 5.3.6
Write as a solution set.
Étape 5.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Étape 6
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.